Turunan Fungsi Aljabar

Rumus-rumus turunan fungsi aljabar SMA dan SMK

Turunan fungsi aljabar merupakan perluasan materi limit fungsi dan turunan fungsi yang pertama kali diajarkan di kelas 2 SMA atau kelas 3 SMK. Selainturunan fungsi aljabar juga dikenal turunan fungsi trigonometri penting sekali menguasai konsep turunan mengingat kegunaan materi ini sangat penting dalam bidang yang lain seperti dalam bidang fisika dan kalkulus diferensial. Berikut ini rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar.

1.Turunan fungsi konstan

f(x) = k ⇒ f’(x) = 0

Contohsoal turunan fungsi aljabar fungsi konstan:

a. Turunan dari f(x) = 5 adalah f’(x) = 0

b. Turunan dari f(x) = - 6 adalah f’(x) = 0

2.Turunan fungsi identitas

f(x) = x ⇒ f’(x) = 1

3.Turunan fungsi aljabar berpangkat n

Contoh :
$\\a.\, f(x)=x^4\Rightarrow f'(x)=4x^{4-1}=4x^3\\\\b.\, f(x)=-4x^5\Rightarrow f'(x)=(-4)x^{5-1}=-4x^4$

Rumus fungsi aljabar berpangkat n diatas juga berlaku untuk bilangan berpangkat negatif maupun pangkat pecahan, seperti contoh dibawah ini

c . $f(x)=\frac{1}{x^5}$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\frac{1}{x^5}=x^{-5}\\\\f'(x)=(-5)x^{-5-1}=-5x^{-6}$

d. $f(x)=\frac{4}{\sqrt[3]{x^4}}$

[penyelesaian]
$\\f(x)=\frac{4}{\sqrt[3]{x^4}}=4x^{-\frac{4}{3}}\\\\f'(x)=4.\left ( -\frac{4}{3} \right )x^{-\frac{4}{3}-1}=-\frac{16}{3}x^{-\frac{7}{3}}\\\\f'(x)=\frac{-16}{3x^2\sqrt[3]{x}}$

4.Rumus turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi

Contoh soal Turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi,

a. $f(x)=x^4-5x^3+4x^2-x-7$

[Penyelesaian]
$\\f'(x)=4x^{4-1}-5.3x^{3-1}+4.2x^{2-1}-1\\\\f'(x)=4x^3-15x^2+8x-1$

b. $f(x)=(x+3)^2$

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan rumus kuadrat suku dua pada materi matematika smp kelas 7 aljabar maka,
$\\f(x)=(x+3)^2=x^2+6x+9\\\\f'(x)=2x^{2-1}+6=2x+6$

c. $f(x)=\sqrt{x}(x^2-x)$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\sqrt{x}(x^2-x)=x^{\frac{1}{2}}(x^2-x)=x^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{3}{2}}\\\\f'(x)=\frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1}-\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}\\\\f'(x)=\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=\frac{5}{2}x\sqrt{x}-\frac{3}{2}\sqrt{x}\\\\f'(x)=\frac{\sqrt{x}}{2}(5x-3)$

5.Turunan fungsi aljabar hasil kali

Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil kali,

Carilah turunan dari , $f(x)=(x^2-5x)(x^3+5)$

[Penyelesaian]
$\\\Leftrightarrow u(x)=x^2-5x,\, maka\, u'(x)=2x-5\\\Leftrightarrow v(x)=x^3+5,\, maka\, v'(x)=3x^2$

Dengan menggunakan rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas maka diperoleh,

$\\f(x)=(x^2-5x)(x^3+5)\\f'(x)=(2x-5).(x^3+5)+(x^2-5x).(3x^2)\\f'(x)=2x^4+10x-5x^3-25+3x^4-15x^3\\f'(x)=5x^4-20x^3+10x-25$

Rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas dapat diperluas untuk mencari rumus turunan yang terdiri dari tiga fungsi, yaitu:

Contoh mencari turunan fungsi aljabar yang terdiri dari tiga fungsi:

Tentukan turunan dari, $f(x)=(x^3-2)(x^4+2x^2)(2x^2-3x)$

[Penyelesaian]
$\\\circ u(x)=x^3-2\Rightarrow u'(x)=3x^2\\\circ v(x)=x^4+2x^2\Rightarrow v'(x)=4x^3+4x\\\circ w(x)=2x^2-3x \Rightarrow w'(x)=4x-3$
$\\f(x)=(x^3-2)(x^4+2x^2)(2x^2-3x)\\f'(x)=3x^2.(x^4+2x^2).(2x^2-3x)+(x^3-2).(4x^3+4x).(2x^2-3x)+(x^3-2).(x^4+2x^2).(4x-3)\\f'(x)=14x^8-33x^7+16x^6-40x^5+33x^4-32x^3+48x^2-18x$

6. Turunan fungsi aljabar hasil bagi

Dengan v(x) ≠ 0

Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil bagi:

Tentukan turunan dari fungsi berikut ini, $f(x)=\frac{3x^2+x+5}{x^2+x}$

[Penyelesaian]
$\\\circ u(x)=3x^2+x+5\Rightarrow u'(x)=6x+1\\\circ v(x)=x^2+x\Rightarrow v'(x)=2x+1$
$\\f(x)=\frac{3x^2+x+5}{x^2+x}\\f'(x)=\frac{(6x+1).(x^2+x)-(3x^2+x+5).(2x+1)}{(x^2+x)^2}\\f'(x)=\frac{2x^2-10x-5}{(x^2+x)^2}$

Turunan fungsi aljabar aturan rantai

Dengan u (x) fungsi dari x dan n ϵ bilangan real

Contoh soal menentukan turunan fungsi aljabar dengan aturan rantai,

Carilah turunan dari fungsi dibawah ini, $f(x)=\left ( \frac{1}{2}x^2-3x \right )^7$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\left ( \frac{1}{2}x^2-3x \right )^7\\f'(x)=7.\left ( \frac{1}{2}x^2-3x \right )^6.\left ( \frac{1}{2}x^2-3x \right )'\\f'(x)=7\left ( \frac{1}{2} x^2-3x\right )^6\left ( x-3 \right )$

Turunan fungsi aljabar irasional atau bentuk akar

Terkadang dalam menyelesaikan turunan fungsi aljabar, kita menemukan soal dalam bentuk persamaan irasional , ada rumus khusus untuk menentukan turunan fungsi aljabar seperti itu yaitu:

Contoh:

Carilah turunan dari fungsi berikut ini , $f(x)=\sqrt{(3x+2)}$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\sqrt{(3x+2)}\\\\f'(x)=\frac{(3x+2)'}{2\sqrt{(3x+2)}}\\\\f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{(3x+2)}}$

Rumus turunan fungsi aljabar fungsi khusus

Rumus khusus :

Contoh:

Tentukan turunan fungsi dibawah ini, $f(x)=\frac{1}{x^2-2x}$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\frac{1}{x^2-2x}\\f'(x)=-\frac{(x^2-2x)'}{(x^2-2x)^2}\\f'(x)=-\frac{(2x-2)}{(x^2-2x)^2}=-\frac{2(x-1)}{(x^2-2x)^2}$

Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi Trigonometri diperoleh dari definisi turunan yang masih berhubungan dengan limit. Ada dua hal yang harus dipahami dalam turunan fungsi trigonometri. Pertama, perlu dihapalkan bagaimana turunan dari masing-masing fungsi trigonometri, yaitu turunan dari sin, cos, tan, cot, cosec, dan sec. Kedua, perlu dipahami turunan dari fungsi trigonometri yang peubahnya merupakan sebuah fungsi dan turunan dari fungsi trigonometri yang dipangkatkan. Berikut ini dibahas bagaimana cara mendapatkan turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan definisi turunan dan bagaimana turunan dari bentuk-bentuk fungsi trigonometri.

Turunan fungsi aljabar telah kalian kuasai, bagaimana dengan turunan fungsi trigonometri?

mari kita pahami rumusnya serta berlatih di soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri bersama-sama, dijamin sukses dalam ujian kalian….

Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini langsung kita ambil hasilnya….

dimana $f' (x) = \underset{h\rightarrow 0}{lim}\:\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ maka

Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus :

$f(x) = sin\:x$ maka $f'(x)= cos\:x$

$f(x) = cos\:x$ maka $f'(x)= - sin\:x$

$f(x) = a.sin\:(bx+c)$ maka $f'(x)= ab.cos\:(bx+c)$

$f(x) = a.cos\:(bx+c)$ maka $f'(x)= -ab.sin\:(bx+c)$

contoh:

$1.\:f(x)= 3cos\:x$ maka $f'(x)=-3sin\:x$

$2.\:f(x)=2sin\:5x$ maka $f'(x)=10cos\:5x$

$3.\:f(x)=4.cos(3x+\pi)$

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & {-4}.3.sin(3x+\pi)\\ & = & {-12}.sin(3x+\pi)\end{array}$

Rumus rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar, berlaku pula untuk mengerjakan turunan fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya lets try this….

$1.\:f(x)=sec\:x$ tentukan f ‘(x) !

jawab

$\begin{array}{rcl}f(x) & = & sec\:x\\ & = & \frac{1}{cos\:x}\end{array}$

$\begin{array}{lcl}u=1 & maka & u'=0\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}$

$\begin{align}f'(x) & = & \frac{u'.v-v'.u}{v^2}\\ & = & \frac{0.cos\:x-(-sin\:x).1}{(cos\:x)^2}\\ & = & \frac{sin\:x}{cos^2\:x}\\ & = & \frac{sin\:x}{cos\:x}.\frac{1}{cos\:x}\\ & = & tan\:x.sec\:x\end{align}$

$2.\:f(x)=(x^2+2).sin\:x$ tentukan f ‘(x)!

jawab:

$\begin{array}{lcl}u=x^2+2& maka & u'=2x\\v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 2x.sin\:x+cos\:x.(x^2+2)\\ & = & 2x\:sin\:x+x^2.cos\:x+2\:cos\:x\end{array}$

Turunan ke-n

diberikan fungsi f(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f ‘(x) ; turunan kedua dari f(x) adalah f ”(x) ; turunan ketiga dari f(x) adalah f ”’(x) dst.

$1.\:f(x)=4x^2.cos\:x$ tentukan turunan kedua dari f(x)!

jawab.

kita cari turunan pertama dulu ya..

$\begin{array}{lcl}u=4x^2 & maka & u'=8x\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8x.cos\:x+(-sin\:x).4x^2\\ & = & 8x.cos\:x-4x^2.sin\:x\end{array}$

perhatikan untuk $f'(x)=8x.cos\:x-4x^2.sin\:x$ mempunyai dua suku kita misalkan bahwa suku-suku f ‘(x) adalah a dan b dimana f ‘(x) = a – b untuk mencari turunan kedua akan berlaku f ”(x) = a’ – b’ mari kita cari turunan masing-masing suku…

ambil suku pertama dari f ‘(x) kita misalkan $a=8x.cos\:x$

$\begin{array}{lcl}u=8x & maka & u'=8\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}a' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8.cos\:x+(-sin\:x).8x\\ & = & 8.cos\:x-8x.sin\:x\end{array}$

ambil suku kedua dari f ‘(x) kita misalkan $b=4x^2.sin\:x$

$\begin{array}{lcl}u=4x^2 & maka & u'=8x\\ v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}b' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8x.sin\:x+(cos\:x).4x^2\\ & = & 8x.sin\:x+4x^2.cos\:x\end{array}$

nah, kembali ke $f''(x)=a'-b'$

$\begin{array}{rcl}f ''(x) & = & a'-b'\\ & = & (8.cos\:x-8x.sin\:x)-(8x.sin\:x+4x^2.cos\:x)\\ & = & 8.cos\:x-8x.sin\:x-8x.sin\:x-4x^2.cos\:x\\ & = & 8.cos\:x-16sin\:x-4x^2.cos\:x\end{array}$

selesai,deh…..coba yang lain yuk!

$2.\:f(x)=x.cos\:x+sin\:x$ tentukan turunan ke-empat dari f(x) !

jawab:

$f(x)=x.cos\:x+sin\:x$ mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga f ‘(x) = a ‘ + b ‘ cari turunan masing-masing suku dulu ya…

$a=x.cos\:x$

$\begin{array}{lcl}u=x & maka & u'=1\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}a' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 1.cos\:x+(-sin\:x).x\\ & = & cos\:x-x.sin\:x\end{array}$

$b=sin\:x$ maka $b'=cos\:x$

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & a'+b'\\ & = & (cos\:x-x.sin\:x)+(cos\:x)\\ & = & 2.cos\:x-x.sin\:x\end{array}$

$f'(x)=2.cos\:x-x.sin\:x$ mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga f ”(x) = c ‘ – d ‘

$c=2.cos\:x$ maka $c'=-2.sin\:x$

$d=x.sin\:x$

$\begin{array}{lcl}u=x & maka & u'=1\\ v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}d' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 1.sin\:x+cos\:x.x\\ & = & sin\:x+x.cos\:x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f''(x)& = & c'-d'\\ & = & (-2.sin\:x)-(sin\:x+x.cos\:x)\\ & = & {-2}.sin\:x-sin\:x-x.cos\:x\\ & = & {-3}.sin\:x-x.cos\:x\end{array}$

$f''(x)=-3.sin\:x-x.cos\:x$ mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas $a=x.cos\:x$ maka $a'=cos\:x-x.sin\:x$

sehingga

$\begin{array}{rcl}f'''(x) & = & {-3}.cos\:x-(cos\:x-x.sin\:x)\\ & = & {-3}.cos\:x-cos\:x+x.sin\:x\\ & = & {-4}.cos\:x+x.sin\:x\end{array}$

$f'''(x)={-4}.cos\:x+x.sin\:x$ mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas $d=x.sin\:x$ maka $d'=sin\:x+x.cos\:x$

sehingga

$\begin{array}{rcl}f''''(x) & = & {-4}.(-sin\:x)+(sin\:x+x.cos\:x)\\ & = & {4}.sin\:x+sin\:x+x.cos\:x\\ & = & {5}.sin\:x+x.cos\:x\end{array}$

waaaaah…..selesai !!!!

begitu seterusnya hingga turunan ke-n …..coba sendiri dengan soal yang lain yah…!!

ada yang bertanya soal seperti ini:

3. Jika diketahui $y=sin\:x$ buktikan bahwa turunan ke-n yaitu $y^n=sin(x+\frac{\pi}{2}.n)$ !

jawab:

ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran

$y=sin\:x$

$y'=cos\:x$ $=\:sin(\frac{\pi}{2}+x)$ $=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.1)$

$y''=-sin\:x$ $=\:sin({\pi}+x)$ $=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.2)$

$y'''=-cos\:x$ $=\:sin(\frac{3.\pi}{2}+x)$ $=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.3)$

$y''''=sin\:x$ $=\:sin({2.\pi}+x)$ $=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.4)$

…

…

dst
…

…

dst
…

…

dst

sehingga $y^n=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.n)$ terbukti

Latihan Soal

1. Tentukan turunan untuk f(x) = (x² + 2x + 3)(4x + 5)
2. Diketahui Jika f '(x) menyatakan turunan pertama f(x), tentukan f(0) + 2f ' (0)
3. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 3x⁴ + 2x² − 5x
4. Jika $g(x)=\left ( 5-3x \right )^{10}$ maka tentukan g ‘(2)
5. Tentukan turunan pertama dari $y=\frac{(x+2)(x+1)}{(x+3)}$
6. Jika $f(3+2x)=4-2x+x^2$ maka tentukan f ‘ (1)
7. Jika $f(x)=x^3-\frac{x}{x^2-1}$ maka tentukan f ‘(x)
8. Diketahui $y=\sqrt{3-4x}$ maka tentukan $\frac{\partial y}{\partial x}$
9. Tentukan turunan pertama fungsi $f(x)= \frac{4x-3}{-x-1}\:;\:x\neq-1$
10. Tentukan turunan pertama fungsi $f(x)=x^2-3x+\frac{4}{x^2}$
11. Jika f ‘(x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka tentukan f ‘ (x)
12. Jika $f(x)=sin^2 \left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )$ , maka tentukan nilai dari f ‘ (0)
13. Tentukan turunan pertama dari $f(x)=sin^4(3-2x)$
14. Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x) , tentukan turunan pertama fungsi f tersebut
15. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x)

SELAMAT MENCOBA!

7 komentar:

Nurield Hudea1 Mei 2015 pukul 05.00
makasih gan
BalasHapus
Balasan
Unknown3 September 2015 pukul 09.13
terimakasi banyak gan..
izin copas untuk tugas hehe.. :)
BalasHapus
Balasan
Agrend Wisnu Kusuma XPERT15 Februari 2016 pukul 21.03
HELLO MATH LOVERS (BURSA LAPAK BUKU ON LINE)
Musim Olimpiade Matematika telah tiba
BUKU ASAH ASIH ASUH OTAK MATEMATIKA SERI OLIMPIADE
Persiapan KMNR, OMNVR, OMITS, OSK/OSP, dan OSN 2016
Persiapan IMSO, EMIC, IWYMIC, WIZMIC, IYMC,IMO dan IMC
Yang minat Buku Pintar Ekslusif Seri Matematika Nalaria Realistik
Telah tersedia berbagai level 1- 8, MNR SD Kelas 1- 6 SD, MNR SMP dan Kumpulan soal suplemen Pra Pelatihan Olimpiade Matematika lengkap.
Silahkan order langsung hubungi Ibu Yeni Suryani/ Pak Agrend.
Please PM atau inbox chat dan bisa sms/call segera ke (Fast Response) nomer HP. 08561321290/08816814598 or PIN BB 5B5D1D3A

Penulis Buku
Ir. Ridwan Hasan Saputra, MSi.
Pelatih Olimpiade Nasional dan Internasional
Juri Kompetisi Olimpiade Matematika Nasional dan Internasional

Salam Prestasi dan Cerdas Generasi Indonesiaku
(Tim Promo Klinik KPM Bogor)
BalasHapus
Balasan
Thereee27 April 2016 pukul 08.17
thanks kak
BalasHapus
Balasan
Anjarwatiblog22 Februari 2018 pukul 04.07
Terimakasih Kak,
BalasHapus
Balasan
achmadass12 September 2018 pukul 19.09
GG copas
BalasHapus
Balasan
Unknown7 Januari 2019 pukul 19.40
Thank you
BalasHapus
Balasan

Tambahkan komentar

Berbagi Ilmu Dengan Sesama

Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri SMA dan SMK

Turunan Fungsi Aljabar

Rumus-rumus turunan fungsi aljabar SMA dan SMK

Turunan fungsi aljabar aturan rantai

Turunan fungsi aljabar irasional atau bentuk akar

Rumus turunan fungsi aljabar fungsi khusus

Rumus khusus :

Contoh:

Tentukan turunan fungsi dibawah ini, $f(x)=\frac{1}{x^2-2x}$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\frac{1}{x^2-2x}\\f'(x)=-\frac{(x^2-2x)'}{(x^2-2x)^2}\\f'(x)=-\frac{(2x-2)}{(x^2-2x)^2}=-\frac{2(x-1)}{(x^2-2x)^2}$

Turunan Fungsi Trigonometri

7 komentar:

$y'=cos\:x$	$=\:sin(\frac{\pi}{2}+x)$	$=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.1)$
$y''=-sin\:x$	$=\:sin({\pi}+x)$	$=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.2)$
$y'''=-cos\:x$	$=\:sin(\frac{3.\pi}{2}+x)$	$=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.3)$
$y''''=sin\:x$	$=\:sin({2.\pi}+x)$	$=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.4)$
… … dst	… … dst	… … dst
sehingga	$y^n=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.n)$	terbukti

Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri SMA dan SMK

Turunan Fungsi Aljabar

Rumus-rumus turunan fungsi aljabar SMA dan SMK

Turunan fungsi aljabar aturan rantai

Dengan u (x) fungsi dari x dan n ϵ bilangan real Contoh soal menentukan turunan fungsi aljabar dengan aturan rantai, Carilah turunan dari fungsi dibawah ini, [Penyelesaian]

Turunan fungsi aljabar irasional atau bentuk akar

Terkadang dalam menyelesaikan turunan fungsi aljabar, kita menemukan soal dalam bentuk persamaan irasional , ada rumus khusus untuk menentukan turunan fungsi aljabar seperti itu yaitu: Contoh: Carilah turunan dari fungsi berikut ini , [Penyelesaian]

Rumus turunan fungsi aljabar fungsi khusus

Rumus khusus : Contoh: Tentukan turunan fungsi dibawah ini, [Penyelesaian]

Turunan Fungsi Trigonometri

7 komentar:

Rumus khusus :

Contoh:

Tentukan turunan fungsi dibawah ini, $f(x)=\frac{1}{x^2-2x}$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\frac{1}{x^2-2x}\\f'(x)=-\frac{(x^2-2x)'}{(x^2-2x)^2}\\f'(x)=-\frac{(2x-2)}{(x^2-2x)^2}=-\frac{2(x-1)}{(x^2-2x)^2}$